Факторный анализ

Факторный анализ — статистический метод проверки гипотез о влиянии различных факторов на изучаемую случайную величину. Разработана и общепринята модель, при которой влияние фактора представлено в линейном виде. Процедура анализа сводится к оценочным операциям с помощью метода наименьших квадратов.

В зависимости от характера исследуемых факторов выделяется три типа факторного анализа:

• Дисперсионный анализ — применяется, когда факторы подразделяются на качественные категории (например, при изучении влияния тектонического фактора можно выделить градации: мульда, крыло, свод).
• Регрессионный анализ — используется при проверке гипотез, когда факторы охарактеризованы количественно (например, влияние глубины залегания горизонта на содержание в руде полезного ископаемого).
• Ковариационный, или корреляционный, анализ — применим тогда, когда часть факторов представлена в количественных, а другая часть — в качественных категориях.

В последние годы получила распространение модель, при которой факторы не известны. Эти факторы восстанавливаются путём разложения ковариационной, или корреляционной, матрицы; фактор, выявляемый анализом, выражается линейно через первоначальные случайные величины и поэтому поддаётся интерпретации после его выделения.

Пусть имеется n случайных величин y₁, y₂, … yₙ, которые являются линейными комбинациями с p неизвестными постоянными β₁, β₂, … βₚ:

yᵢ = x₁ᵢβ₁ + x₂ᵢβ₂ + … + xₚᵢβₚ + eᵢ, (1) i = 1, 2, …, n

где {xⱼᵢ} (j = 1,…, p; i = 1,…, n) — известные постоянные коэффициенты; {eᵢ} (i = 1,…, n) — случайные величины, иногда их интерпретируют как ошибки наблюдений. Считаем, что eᵢ распределены нормально, математическое ожидание E(eᵢ) = 0, i = 1, 2, …, n, E(eᵢeⱼ) = σ²δᵢⱼ, где σ² — неизвестная константа.

Тогда дисперсионный анализ — система статистических методов обработки наблюдений, имеющих вид (1), где {xⱼᵢ} принимают значения 0 или 1. Здесь {xⱼᵢ} указывают на наличие или отсутствие влияний различных факторов {β} при проводимых наблюдениях. Если {xⱼᵢ} пробегают непрерывные множества значений, то мы имеем регрессионный анализ. Здесь {xⱼᵢ} — независимые переменные, а {yᵢ} — зависимые от них переменные. В случае, когда {xⱼᵢ} — переменные двух видов, такой анализ называется ковариационным, или корреляционным.

Наиболее удачно методы факторного анализа применялись в геологии при изучении косой слоистости каменноугольных отложений США; при оценке распределений плагиоклазов в красноцветных отложениях полуострова Челекен; при оценке влияния на концентрацию ртути различных факторов на месторождении Хайдаркан.

Современный контекст

Факторный анализ в настоящее время широко применяется для анализа закономерностей размещения оруденения и прогнозирования месторождений полезных ископаемых. С развитием вычислительных мощностей и методов машинного обучения, современные версии факторного анализа (включая байесовские подходы и нелинейные модели) активно используются в геостатистике, дистанционном зондировании Земли (ДЗЗ) и геоинформационных системах (ГИС) для многомерной обработки аномалий геохимических полей и структурно-тектонических карт.