Распределение χ²

Распределение χ² (хи-квадрат) — это непрерывное распределение вероятностей, заданное функцией плотности:

[ K_n(x) = \begin{cases} \text{формула}, & x > 0, \ 0, & x \le 0, \end{cases} ]

где Γ(x) — гамма-функция, а параметр n называется числом степеней свободы.

• Если (X_1, X_2, \dots, X_n) — независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону (см. Распределение нормальное) с параметрами (0,1), то случайная величина (\sum_{i=1}^{n X_i}2) имеет распределение χ².
• Математическое ожидание: (n).
• Дисперсия: (2n).
• Характеристическая функция: ((1 - 2it)^{-n/2}).
• Если (\chi^{2_1) и (\chi}2_2) — независимые случайные величины с (n_1) и (n_2) степенями свободы соответственно, то их сумма (\chi^{2_1 + \chi}2_2) имеет распределение χ² с числом степеней свободы (n_1 + n_2).

Составлены таблицы распределения χ². При больших (n) распределение χ² можно считать нормально распределённой случайной величиной с математическим ожиданием (n) и дисперсией, равной (2n) (после нормировки единице).

Распределение χ² широко используется на практике в петроструктурных исследованиях, литологии, геохимии. При пользовании распределением χ² нужно следить, чтобы расчёты производились с числами наблюдений, а не со значениями функции, что является частой ошибкой.