Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов — метод оценки параметров по наблюдённым данным, причём оценки должны быть несмещёнными (см. Оценка несмещённая) и минимальным должно быть математическое ожидание квадрата разности E(T − θ)², где θ — параметр, T — его оценка, а E — математическое ожидание. В качестве T берут определённую функцию от наблюдений x₁, x₂, …, xₙ; в простейшем случае — линейную: T(x) = ax + b. Минимизируют сумму квадратов отклонений Σ(T(xⱼ) − yⱼ)², где n — число наблюдений. Из условия минимальности получают систему уравнений — путём дифференцирования по оцениваемым параметрам и приравнивания к нулю. Получаемая система уравнений называется нормальной. Решая её, находят оценки параметров. Метод наименьших квадратов в геологических исследованиях используется при аппроксимации, в частности при расчёте трендов площадных и временны́х. См. Тренд-анализ.

Современный контекст

Метод наименьших квадратов остаётся базовым инструментом статистического моделирования в науках о Земле. С развитием вычислительных мощностей и методов ГИС (геоинформационных систем) его применение расширилось на многомерные пространственные данные, включая цифровые модели рельефа и дистанционное зондирование (спутниковые снимки). Для обработки нелинейных зависимостей и робастных оценок (устойчивых к выбросам) используются модификации, такие как взвешенный метод наименьших квадратов и метод наименьших модулей (по состоянию на 2020-е годы).