Математическое ожидание

Математическое ожидание случайной величины — её числовая характеристика. Если случайная величина (X) имеет функцию распределения (F(x)), то её математическое ожидание будет:

[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x , dF(x) ]

Если распределение (X) дискретно, то математическое ожидание:

[ E(X) = \sum_{n \in N} x_n p_n ]

где (x_1, x_2, \dots) — возможные значения дискретной случайной величины (X); (p_1, p_2, \dots) — соответствующие им вероятности; (n) — пробегает некоторое множество индексов (N). Математическое ожидание может не существовать, если ряд расходится. Например, если (x_n = n), (n = 1, 2, \dots), то (E(X) = \sum_{n=1}^{\infty} n p_n) расходится.

Если (X) — непрерывная случайная величина с плотностью распределения (f(x)), то:

[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) , dx ]

Основные свойства математического ожидания:

• (E(c) = c), если (c) — постоянная величина.
• (E(X + Y) = E(X) + E(Y)), где (X), (Y) — случайные величины.
• (E(XY) = E(X) \cdot E(Y)), если (X), (Y) — независимые случайные величины.

На практике пользуются оценкой математического ожидания, называемой выборочным средним. Правильность определения оценки математического ожидания имеет большое значение, особенно при подсчёте запасов.