Распределение гипергеометрическое

Гипергеометрическое распределение — это распределение вероятностей случайной величины ( m ), которое возникает при случайном извлечении без возвращения выборки объёмом ( n ) из совокупности объёмом ( N ). Если в исходной совокупности ровно ( M ) элементов обладают определённым свойством (( M < N )), то ( m ) — это количество таких элементов в выборке.

• Формула вероятности:
  ( P(m = i) = \frac{C_M^{i \cdot C_{N-M}}{n-i}}{C_N^n} ),
  где ( \max(0, M + n - N) \le i \le \min(M, n) ); в остальных случаях вероятность равна 0.
• Математическое ожидание: ( E(m) = n \frac{M}{N} )
• Дисперсия: ( D(m) = n \frac{M}{N} \left(1 - \frac{M}{N}\right) \frac{N - n}{N - 1} )

При ( D(m) > 9 ) гипергеометрическое распределение аппроксимируется нормальным распределением с соответствующими параметрами. Если ( n ) и ( M ) не превышают ( 0,1N ), распределение близко к распределению Пуассона с параметром ( \lambda = n \frac{M}{N} ). При ( N \to \infty ) и фиксированных ( n ) и ( p = M/N ), когда ( n < 0,1N ), гипергеометрическое распределение сходится к биномиальному:

[ P_{n,M}(m) \to C_n^{m p}m (1-p)^{n-m} ]

При ( N \ge 25 ) и любых ( M ) и ( n ) возможна аппроксимация бета-распределением.

Гипергеометрическое распределение встречается во многих практических задачах, в частности при выборке из общей совокупности левых и правых кристаллов кварца.