Критерий хи-квадрат (χ²)

Критерий χ² — статистический критерий значимости для проверки гипотез относительно вероятностей по наблюдённым частотам.

Применение:

• Проверка гипотезы о вероятностях событий: Если необходимо проверить гипотезу о том, что вероятности ( m ) событий равны заданным числам ( p_1, p_2, \dots, p_m ), вводится мера: [ \chi^{2 = \sum_{i=1}}{m} \frac{(v_i - n p_i)^{2}{n p_i} ] где ( v_i ) — наблюдённое количество выборочных элементов, принадлежащих ( i )-му событию; ( n ) — объём выборки (( v_1 + \dots + v_m = n )). Величина ( \chi}2 ) распределена асимптотически по закону ( \chi^{2 ) с ( (m - 1) ) степенями свободы. Если ( P{\chi}2 > \chi^{2_0} = \alpha ), где ( \chi}2_0 ) найдено по таблице при заданном ( \alpha ), то проверяемая гипотеза отвергается на уровне значимости ( \alpha ).

• Проверка независимости признаков: Для проверки независимости признаков ( A_1, \dots, A_s ) и ( B_1, \dots, B_r ) вводится мера: [ \chi^{2 = \sum_{i=1}}{s} \sum_{j=1}^{{r} \frac{(v_{ij} - n p_i q_j)}2}{n p_i q_j} ] где ( v_{ij} ) — количество наблюдений, обладающих признаками ( A_i ) и ( B_j ); ( p_i = P(A_i) ); ( q_j = P(B_j) ); ( \sum p_i = \sum q_j = 1 ); всего ( n ) независимых наблюдений. Величина ( \chi^{2 ) распределена асимптотически по закону ( \chi}2 ) с ( (r - 1)(s - 1) ) степенями свободы. Вместо ( p_i ) и ( q_j ) можно поставить их оценки по выборке.

Применение в геологии: Критерий χ² широко применяется при проверке гипотез о согласии теоретической функции распределения с эмпирической, а также для проверки наличия связи — последнее особенно важно при решении задач микроструктурного анализа.

Критерий Фишера (F-критерий)

F-критерий — это критерий значимости для проверки гипотезы равенства стандартных отклонений ( \sigma_1 = \sigma_2 ) двух независимых выборок из нормальной совокупности объёмом ( n_1 ) и ( n_2 ) соответственно. Если ( s_1^{2 ) и ( s_2}2 ) — выборочные оценки ( \sigma_1^{2 ) и ( \sigma_2}2 ), то отношение ( F = s_1^{2 / s_2}2 ) распределено по закону Фишера со степенями свободы ( (n_1 - 1, n_2 - 1) ). Если ( P(F > F_\alpha) = \alpha ), где ( F_\alpha ) найдено по таблице распределения Фишера при заданном ( \alpha ), то гипотеза ( \sigma_1 = \sigma_2 ) отвергается на заданном уровне значимости ( \alpha ).

Применение в геологии: Критерий F чрезвычайно важен при оценке влияния факторов на геологические характеристики, так как в конечном счёте по нему выносится суждение о наличии или отсутствии влияния.