Распределение Фишера (F-распределение)

Распределение Фишера (также называемое F-распределением) — это непрерывное распределение вероятностей, задаваемое функцией плотности:

( f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{m+n}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{m}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(\frac{m}{n}\right)^{{m/2} x}{m/2-1} \left(1 + \frac{m}{n}x\right)^{-(m+n)/2} ), где ( x > 0 ), а ( \Gamma(x) ) — гамма-функция.

• Параметры ( m ) и ( n ) называются числами степеней свободы.
• Если ( X_1, \dots, X_m ) и ( Y_1, \dots, Y_n ) — независимые случайные величины, распределённые по нормальному закону с параметрами (0, σ), то величина ( F = \frac{(1/m) \sum_{i=1}^{m X_i}2}{(1/n) \sum_{j=1}^{n Y_j}2} ) распределена по закону Фишера.
• Математическое ожидание: ( \mathbb{E}[F] = \frac{n}{n-2} ) при ( n > 2 ).
• Дисперсия: ( \text{Var}(F) = \frac{2n^{2(m+n-2)}{m(n-2)}2(n-4)} ) при ( n > 4 ).

Распределение Фишера широко применяется при решении многих геологических задач. В частности, оно используется для выявления роли факторов, определяющих рудоносность того или иного объекта, а также в задачах, связанных с подсчётом запасов полезных ископаемых.