Распределение биномиальное

Биномиальное распределение — это распределение вероятностей случайной величины m, где m — общее число испытаний с исходом А в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых событие А имеет постоянную вероятность p.

Совокупность вероятностей: [ P_n(m = k) = C_n^{k p}k (1-p)^{n-k}, ] где ( k = 0, 1, \dots, n ), называют биномиальным законом распределения вероятностей.

• Математическое ожидание биномиального распределения: ( E_m = np )
• Дисперсия биномиального распределения: ( D_m = npq ), где ( q = 1 - p )
• Характеристическая функция биномиального распределения: ( \varphi(t) = [q + p e^{it}]n )

Если n велико и p не зависит от n, то биномиальное распределение аппроксимируется нормальным распределением, где ( \Phi(x) ) — функция нормального распределения с параметрами (0, 1). Если n велико, а p → 0 с ростом n, то биномиальное распределение приближается распределением Пуассона. Следует отметить, что при ( n < 200 ) точность этих приближений недостаточна.

Условия, при которых возникает биномиальное распределение, сравнительно полно осуществляются при подсчёте числа зёрен в шлихах или в иммерсионных фракциях, когда выборка произведена из тщательно перемешанного большого числа минеральных зёрен.