Распределение Стьюдента

Распределение Стьюдента (t-распределение) — статистическое распределение, заданное функцией плотности вероятности:

[ f(t) = \frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi},\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} \left(1 + \frac{t^2}{n}\right){-\frac{n+1}{2}}, \quad -\infty < t < \infty, ]

где параметр (n) называется числом степеней свободы, а (\Gamma(\nu)) — гамма-функция.

• Свойства:

  • Если случайные величины (X, X_1, X_2, \dots, X_n) независимы и распределены по нормальному закону (см. Распределение нормальное) с параметрами ((0, \sigma)), то случайная величина (t = \frac{X}{\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n X_i}2}}) распределена по закону Стьюдента.
  • Дисперсия: (D(t) = \frac{n}{n-2}) при (n > 2).
  • Все моменты нечётного порядка равны нулю; при (2\nu < n) центральные моменты равны начальным: (E(t^{{2\nu}) = \frac{n}\nu \cdot 1 \cdot 3 \cdots (2\nu-1)}{(n-2)(n-4)\cdots(n-2\nu)}).
  • При больших (n) величина (t) асимптотически нормальна с параметрами ((0, 1)).

• Применение в науках о Земле: В геологии распределение Стьюдента используется для сравнения выборочных средних двух выборок при выполнении условий его применимости. Например, на его основе могут быть уточнены представления о кондиционности руд или перспективности рудоносных площадей.