Распределение логарифмически-нормальное

Распределение логарифмически-нормальное — распределение вероятностей случайной величины x с плотностью:

[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} (x-a)} \exp\left(-\frac{(\ln(x-a)-m)^2}{2\sigma2}\right), & x > a \ 0, & x \leq a \end{cases} ]

• Если ( \alpha_1 ) и ( \alpha_2 ) — первые два момента логарифмически-нормального распределения, и если ( \eta ) — действительный корень уравнения ( \eta^3 + 3\eta - \gamma_1 = 0 ), где ( \gamma_1 ) — коэффициент асимметрии, то параметры распределения ( a, m, \sigma ) задаются соотношениями:
  • ( \sigma^{2 = \log(1 + \eta}2) )
  • ( m = \log(\alpha_1 - a) - \sigma^2 )

А. Н. Колмогоров показал, что логарифмически-нормальному распределению подчинены размеры частиц, образующиеся при дроблении. Существуют также другие схемы, при которых возникает данное распределение. Среди геохимиков распространено предположение, что многие химические элементы в земной коре распределены по логарифмически-нормальному закону. Однако следует подчеркнуть, что ни в одном из геохимических исследований не было дано доказательств принадлежности распределения к логарифмически-нормальному типу, все приводимые по этому поводу рассуждения могут быть поставлены под сомнение.

Современный контекст

На сегодняшний день (2020-е годы) в геохимии и экологии подтверждено, что логарифмически-нормальное распределение характерно для содержания многих микроэлементов (например, золота, урана, свинца) в рудных телах, почвах и горных породах. Это связано с процессами дробления, смешивания и выветривания. Однако для макроэлементов (кремний, алюминий) чаще применяется нормальное распределение. Методы ГИС и статистического анализа (критерии Колмогорова — Смирнова, хи-квадрат) позволяют объективно проверять гипотезу о логарифмически-нормальном распределении.