Закон больших чисел

Вероятностный закон, утверждающий, что с вероятностью, близкой к единице, среднее арифметическое большого числа случайных величин примерно одного порядка будет мало отличаться от константы, равной среднему арифметическому из математических ожиданий этих величин. Различные формы закона больших чисел даны Бернулли, Пуассоном, Чебышевым, Марковым и Хинчиным.

Закон больших чисел в форме Чебышева: для последовательности попарно независимых случайных величин ( X_1, X_2, ..., X_n, ... ), имеющих конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной ( DX_i < C ), ( i = 1, 2, ..., n, ... ), верно:

[ \lim_{n \to \infty} P\left( \left| \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n X_i - \frac{1}{n} \sum_{i=1}}n EX_i \right| < \varepsilon \right) = 1, ]

где ( EX_i ) — математическое ожидание ( X_i ).

Эмиль Борель в 1909 году ввёл понятие усиленного закона больших чисел. Последовательность случайных величин ( X_1, X_2, ..., X_n, ... ) подчиняется усиленному закону больших чисел, если:

[ P\left( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (X_i - EX_i) = 0 \right) = 1. ]

Достаточные условия для осуществления усиленного закона больших чисел даны Андреем Николаевичем Колмогоровым.

Применение в науках о Земле

Все геологические приложения статистических методов обычно основываются на априорном предположении об осуществлении в данном случае закона больших чисел.

Современный контекст

В современных геонауках закон больших чисел лежит в основе геостатистики (математическое моделирование пространственной изменчивости), методов крагинга и Монте-Карло для оценки запасов месторождений полезных ископаемых. При анализе больших данных дистанционного зондирования Земли (спутниковые снимки, радарная интерферометрия) закон подтверждает устойчивость средних значений высот, температур или концентраций элементов при увеличении объёма выборки (источник: Journal of Geophysical Research, 2023).