Дисперсия случайной величины

Дисперсия случайной величины — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания. Согласно определению, дисперсия случайной величины есть математическое ожидание квадрата разности между случайной величиной и её математическим ожиданием:

[ DX = E(X - EX)^2 ]

где (F(x)) — функция распределения случайной величины (X). Полезна формула:

[ DX = EX^{2 - (EX)}2 ]

Основные свойства дисперсии случайной величины:

• (D(cX) = c^2 DX), где (c) — постоянная;
• (D(X + Y) = DX + DY), если (X) и (Y) — независимые случайные величины;
• (Dc = 0), если (c) — постоянная.

Примеры:

1. Если (X) — равномерно распределённая в интервале ((a, b)) случайная величина, то дисперсия равна: (DX = \frac{(b - a)^2}{12}).
2. Если (X) — случайная величина, распределённая по нормальному закону с плотностью (f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{{-\frac{(x - a)}2}{2\sigma^{2}}), где (a), (\sigma) — параметры распределения, то дисперсия в этом случае равна: (DX = \sigma}2) (см. плотность распределения вероятностей).

Выборочные оценки дисперсии случайной величины широко используются во всех геологических дисциплинах, опирающихся на количественные характеристики. Аналогами дисперсии случайной величины являются распространённые в литологии коэффициенты сортировки.