Коэффициент корреляции частный

Частный коэффициент корреляции — статистический показатель, который характеризует связь между двумя случайными величинами X₁ и X₂ при условии, что присутствуют n случайных величин (X₁, X₂, X₃, …, Xₙ), при этом устраняются изменения, вызванные влиянием остальных величин X₃, …, Xₙ.

Если ввести переменную
[ \tilde{X}i = X_i - \beta{i3} X_3 - \dots - \beta_{in} X_n, ]
где β_{ik} — коэффициент регрессии, то частный коэффициент корреляции между X₁ и X₂ относительно X₃, …, Xₙ определяется как

[ \rho_{12(34\ldots n)} = \frac{- \Lambda_{12}}{\sqrt{\Lambda_{11} \Lambda_{12}}}, \quad -1 \leq \rho_{12(34\ldots n)} \leq 1, ]

где Λ_{ik} — алгебраическое дополнение элемента λ_{ik} в определителе Λ = |λ_{ik}|,
а λ_{ik} = \mathrm{E}\big[(X_i - \mathrm{E} X_i)(X_k - \mathrm{E} X_k)\big].

При этом принимается, что (\mathrm{E}(X_i \mid X_1, \dots, X_{i-1}, X_{i+1}, \dots, X_n) = 0) (для (i = 1, 2, \dots, n)).

Путём замены индексов аналогично получается выражение для частного коэффициента корреляции любых величин X_i, X_j относительно остающихся (n − 2) величин.

Пример для трёх величин (n = 3):

[ \rho_{12(3)} = \frac{\rho_{12} - \rho_{13} \rho_{23}}{\sqrt{(1 - \rho_{13}^{2)(1 - \rho_{23}}2)}}, ]
где ρ_{ik} — обычный коэффициент корреляции X_i и X_k.

При использовании процентных величин, а также при изучении связи между системой процентных величин и величиной, не входящей в эту систему, требуются специальные методы выяснения геологического или геохимического смысла частного коэффициента корреляции.