Достаточная оценка

Достаточная оценка — это статистика, которая подытоживает все имеющиеся сведения об оцениваемом параметре, содержащиеся в выборке. Если зафиксировать достаточную оценку, то условное распределение выборки перестаёт зависеть от измеряемого параметра (определение по Р. Фишеру).

Пусть ( x_1, \ldots, x_n ) — выборка с совместной плотностью ( L(x_1, \ldots, x_n, \alpha) ), где ( \alpha ) — оцениваемый параметр; ( g(t, \alpha) ) — плотность оценки ( t(x_1, \ldots, x_n) ); ( h(x_1, \ldots, x_n, \alpha) ) — условная плотность выборки, если ( t ) фиксировано. ( t ) является достаточной оценкой тогда и только тогда, когда:

[ L(x_1, \ldots, x_n, \alpha) = g(t, \alpha) \cdot h(x_1, \ldots, x_n \mid t), ]

где ( h(x_1, \ldots, x_n \mid t) ) не зависит от ( \alpha ). А. Н. Колмогоров ввёл другое определение достаточной оценки, эквивалентное первому.

Если ( \alpha ) — случайный параметр, ( \varphi(\alpha) ) — его априорная плотность, ( L(x_1, \ldots, x_n \mid \alpha) ) — распределение выборки при данном значении ( \alpha ), то можно говорить об апостериорном распределении ( \alpha ) после того, как проведён эксперимент. Тогда апостериорное распределение по формуле Байеса будет:

[ \varphi(\alpha \mid x_1, \ldots, x_n) = \frac{L(x_1, \ldots, x_n \mid \alpha) \cdot \varphi(\alpha)}{\int L(x_1, \ldots, x_n \mid \alpha) \cdot \varphi(\alpha) , d\alpha}. ]

Статистики (оценки) ( t_1, \ldots, t_s ), от которых зависит апостериорное распределение параметра, называются достаточными.

• Применение в геологии: теория достаточных оценок должна использоваться при вычислении различных коэффициентов, применяемых в геологии. Теоретически только те статистики оправдывают своё существование, которые являются достаточными оценками.