Ряд Фурье

Ряд Фурье — разложение функции ( f(x) ) по ортонормированной системе функций ( \varphi_1(x), \varphi_2(x), \dots, \varphi_k(x), \dots ), заданных на отрезке ([a, b]). Коэффициенты такого разложения называются коэффициентами Фурье.

Чаще всего в качестве системы функций берут:

[ \sin\left( \frac{\pi n x}{T} \right), \quad \cos\left( \frac{\pi n x}{T} \right), \quad n = 1, 2, 3, \dots ]

для периодической функции ( f(x) ) с периодом ( 2T ). В этом случае ряд Фурье записывается в виде:

[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n \cos \frac{\pi n x}{T} + b_n \sin \frac{\pi n x}{T} \right) ]

Если функция ( f(x) ) имеет непрерывную производную, то ряд Фурье сходится к самой функции.

В науках о Земле ряд Фурье впервые был применён для сглаживания наблюдений над мощностью слоёв в палеозойских отложениях Тюрингии. Также он используется для аппроксимации наблюдаемых значений геологических характеристик при изучении случайных полей методами тренд-анализа.